在平面直角坐标系xOy中.顶点D在第一象限的抛物线y=-x2-kx-(k-1)与x轴交于A(x1.0).B(x2.0)两点(点A在点B的左侧.OA＜OB).交y 轴于点C.且x${\;} {1}^{2}$+x${\;} {2}^{2}$=10．(1)求抛物线的函数表达式,(2)设△ABC的外接圆圆心为P.过P的直线与直线AC交于Q.与x轴交于R.若△ABC与△ARQ相似.求R� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

在平面直角坐标系xOy中，顶点D在第一象限的抛物线y=-x²-kx-（k-1）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（点A在点B的左侧，OA＜OB），交y 轴于点C，且x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设△ABC的外接圆圆心为P，过P的直线与直线AC交于Q，与x轴交于R，若△ABC与△ARQ相似，求R的坐标；
（3）将此抛物线从点B沿射线BD方向平移（使得顶点D始终在BD上），若平移后的抛物线与直线BD交于点N、K，在y正半轴上是否存在点M，使△MNK为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标．

分析（1）利用抛物线对应的一元二次方程两根之间关系求出K值，代回抛物线，验算满足顶点D在第一象限即可求出抛物线解析式；
（2）利用三角形外心性质求出P的坐标，设出PQ直线解析式，联立方程组，求出点P、Q坐标，利用两点间距离公式，求出相似三角形对应线段的长，分类讨论相似三角形，即可求出点R的坐标；
（3）求出直线BD解析式及线段BD长度，由题意知BD=KN，设出点N点K坐标，利用等腰三角形性质求出点M坐标；

解答解：（1）令y=0，
-x²-kx-（k-1）=0，
∴（x-1）[x+（k-1）]=0，
∴x=1或x=1-k，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10，
∴1+（1-k）²=10．
解得：k=4，或k=-2，
当k=4，抛物线为y=-x²-4x-3，
顶点D横坐标为-2，不在第一象限，舍去，
当k=-2时，抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
顶点坐标D（1，4），
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）得：A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴线段AB垂直平分线为直线x=1，
线段BC的垂直平分线为直线y=x，
联立得P（1，1），
直线AC解析式为：y=3x+3，
设直线PQ：y=kx+b，代入（1，1），
得y=kx+1-k，
令y=0，x=$\frac{k-1}{k}$，
∴R（$\frac{k-1}{k}$，0）
联立：直线AC和QR
求得Q（$\frac{2+k}{k-3}$，$\frac{6k-3}{k-3}$），
利用勾股定理求得：
AC=$\sqrt{10}$，AB=4，AQ=$\sqrt{（-1-\frac{2+k}{k-3}）^{2}+（\frac{6k-3}{k-3}）^{2}}$），AR=$\frac{k-1}{k}$+1
当△ARQ∽△ABC时，
$\frac{AC}{AQ}$=$\frac{AB}{AR}$，解得：k=-1，
∴R（2，0）．
当△ARQ∽△ACB时，
$\frac{AC}{AR}=\frac{AB}{AQ}$，解得k=-2，
∴R（$\frac{3}{2}$，0）．
∴R的坐标为R（$\frac{3}{2}$，0）或R（2，0）．

（3）设直线BD解析式为y=kx+b，
∵B（3，0），D（1，4），
代入直线解析式得：k=-2，b=6，
∴直线BD解析式为y=-2x+6，
BD=$\sqrt{{4}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设点M（0．b），
当BM=BD=2$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{B{M}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{20-9}$=$\sqrt{11}$，
∴M（0，$\sqrt{11}$．
当BD=BM时，根据抛物线对称性，点M在y轴负半轴，不符合题意．
当BM=DM时，
$\sqrt{9+{b}^{2}}$=$\sqrt{1+（4-b）^{2}}$，
解得：b=1，
∴M（0，1）．
综上所述，点M坐标为（0，1）或（0，$\sqrt{11}$）．