Question

19．如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于D点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥OA于点F，根据A（10，0）得出OC=OA=10．再由OB•AC=160，得出菱形的面积故可得出CF的长，根据勾股定理求出OF的长即可得出C点坐标，由中点坐标公式得出D点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出k的值，进而得出结论．

解答 解：过点C作CF⊥OA于点F，
∵菱形OABC中，A（10，0），
∴OC=OA=10．
∵OB•AC=160，
∴S_菱形OABC=80，
∴CF=$\frac{80}{OA}$=$\frac{80}{10}$=8，
∴OF=$\sqrt{{OC}^{2}-{CF}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴C（6，8），
∴D（$\frac{6+10}{2}$，$\frac{8}{2}$），即D（8，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D点，
∴k=8×4=32，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{32}{x}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求出CF的长，再由中点坐标公式求出D点坐标是解答此题的关键．