Question

17．如图，边长为4cm的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，E是AB边上一动点（与A．B不重合），过点O作OF⊥OE交BC边于F．
（1）在运动过程中四边形OEBF的面积是否变化？并说明理由．
（2）设AE=x，△BEF的面积为S，求出S与x之间的函数关系式；
（3）x为何值时，△EBF面积最大，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）作OH⊥BC，OG⊥AB分别于点H、G，然后证明△OEG≌△OFH，即可证得S_{四边形OEBF}=S_{正方形OGBH}；
（2）AG=BG=BH=CH=2，则当AE=x时EG=FH=2-x，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）利用配方法即可求解．

解答 解：（1）四边形OEBF的面积不变化．
理由是：作OH⊥BC，OG⊥AB分别于点H、G．
则OH=OG=2（cm），四边形OGBH是正方形．S_{正方形OGBH}=4．
∵∠EOF=∠GOH=90°，
∴∠EOG+∠GOF=∠HOF+∠GOF=90°，
∴∠EOG=∠HOF，
在△OEG和△OFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOG=∠HOF}\\{OG=OH}\\{∠OGE=∠OHF}\end{array}\right.$，
∴△OEG≌△OFH，
∴S_{四边形OEBF}=S_{正方形OGBH}=4；
（2）∵AG=BG=BH=CH=2，
AE=x，则EG=FH=2-x，
则BE=BG+EG=2+（2-x）=4-x，BF=BH-FH=2-（2-x）=x．
则S=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（4-x）x，即S=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
（3）S=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x²-4x+4）+2=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2．
当x=2时，S有最大值是2．

点评 本题考查了图形的旋转，以及二次函数的性质，正确作出辅助线，理解旋转过程存在的相等的角和线段是关键．