Question

9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四条边的中点，AG交DE于点I，BG交CE于点J．求证：IJ∥HF．

Answer 1

分析 连接GE交HF于M，连接AC，GH，EF，DM，AM，HI，IM，JM，JF，根据三角形的中位线的性质得到GH∥AC∥EF，GH=EF=$\frac{1}{2}$AC，推出四边形EFGH是平行四边形，由平行四边形的性质得到HM=FM，GM=EM，于是得到S_△IHM=$\frac{1}{2}$（S_△MAI-S_△MDI）=$\frac{1}{2}$（S_△MAG-S_△MDE）=$\frac{1}{8}$（S_△GAB-S_△ECD），同理S_△JMF=$\frac{1}{8}$（S_△GAB-S_△ECD），等量代换得到S_△IHM=S_△JMF，由于HM=MF，于是得到I，J两点到HF的距离相等，即可得到结论．

解答 证明：连接GE交HF于M，连接AC，GH，EF，DM，AM，HI，IM，JM，JF，
∵E、F、G、H是四条边的中点，
∴GH∥AC∥EF，GH=EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HM=FM，GM=EM，
∴S_△IHM=$\frac{1}{2}$（S_△MAI-S_△MDI）=$\frac{1}{2}$（S_△MAG-S_△MDE）=$\frac{1}{8}$（S_△GAB-S_△ECD），
同理S_△JMF=$\frac{1}{8}$（S_△GAB-S_△ECD），
∴S_△IHM=S_△JMF，
∵HM=MF，
∴I，J两点到HF的距离相等，
∴IJ∥HF．

点评 本题考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．