Question

16．如图，一次函数y₁=-x+2的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y₁＜y₂时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥x轴于D，如图，在Rt△OBD中，根据正切的定义得到tan∠BOC=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{-n}{m}$=$\frac{1}{2}$，即m=-2n，再把点B（m，n）代入y₁=-x+2得n=-m+2，然后解关于m、n的方程组得到n=-2，m=4，即B点坐标为（4，-2），再把B（4，-2）代入y₂=$\frac{k}{x}$可计算出k=-8，所以反比例函数解析式为y₂=-$\frac{8}{x}$；
（2）根据函数图象即可得．

解答 解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，

在Rt△OBD中，tan∠BOC=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
设点B坐标为（m，n），
∴$\frac{-n}{m}$=$\frac{1}{2}$，即m=-2n，
把点B（m，n）代入y₁=-x+2得n=-m+2，
∴n=2n+2，解得n=-2，
∴m=4，
∴B点坐标为（4，-2），
把B（4，-2）代入y₂=$\frac{k}{x}$得k=4×（-2）=-8，
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{8}{x}$；

（2）由函数图象可得，-2＜x＜0或x＞4时，y₁＜y₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．