Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，OC⊥AD，垂足为F，与⊙O交于点E，且∠C=∠BED．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理与∠C=∠BED，易得∠C=∠BAD，又由OC⊥AD，易得∠OAC=90°，即可证得AC是⊙O的切线；
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，继而可证得△ABD∽△COA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：（1）AC与⊙O相切．
理由：∵∠C=∠BED，∠BAD=∠BED，
∴∠C=∠BAD，
∵OC⊥AD，
∴∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠OAC=90°，
即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠OAC，
∵OA=10，AD=16，
∴AB=2OA=20，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=12，
∵∠C=∠BAD，
∴△ABD∽△COA，
∴AD：AC=BD：OA，
∴$\frac{16}{AC}=\frac{12}{10}$，
解：AC=$\frac{40}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定、圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质．注意判定切线的关键是证得∠OAC=90°，求AC长的关键是证得△ABD∽△COA．