Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，M为BC中点，MN⊥AC，垂足为N，
①连接AM，则AM与BC是什么位置关系？证明你的结论；
②求MN的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰△ABC“三合一”的性质推知AM与BC垂直；
（2）利用等腰△ABC“三合一”的性质推知BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3．然后在直角Rt△ABM中，由勾股定理得AM=4；最后利用△AMC的面积的求法来求MN的长度．

解答 解：（1）AM与BC是垂直关系，理由如下：
∵AB=AC，
∵M为BC中点，
∴AM⊥BC；
（2）∵AB=AC，AM为BC的中线，
∴AM⊥BC，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3．
Rt△ABM中，由勾股定理得AM=4，
S_△AMC=$\frac{1}{2}$AM×MC=$\frac{1}{2}$AC×MN=6，
∴MN=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．解答该题的关键是利用等腰三角形的“三合一”的性质求得BM的长度．