Question

19．已知抛物线y=-x²+ax+b与直线y=x+t有且只有一个交点A，点A在第一象限内且满足b=2t，设OA与x轴正方向的夹角为α，求tanα的取值范围．
（注：tanA=$\frac{BC}{AC}$）

Answer 1

分析 根据抛物线与直线只有一个交点和b=2t，用t表示a，求出点A的坐标，根据锐角三角函数的概念表示出tanα，确定tanα的取值范围．

解答 解：∵b=2t，∴y=x²+ax+2t，
联立y=x+t得：x²+（a-1）x+t=0，
∵抛物线y=-x²+ax+b与直线y=x+t有且只有一个交点，
∴△=（a-1）²-4t=0，
∴（a-1）²=4t，（t≥0）
解得：a=1±2$\sqrt{t}$，
∴x=$\frac{-（a-1）}{2}$=±$\sqrt{t}$，
∵点A在第一象限，∴x=$\sqrt{t}$，y=$\sqrt{t}$+t，
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{t}+t}{\sqrt{t}}$=$\sqrt{t}$+1≥1，
∴tanα≥1．

点评 本题考查的是二次函数的性质、抛物线与直线的交点坐标的求法和锐角三角函数的概念，灵活运用所学的知识是解题的关键，解答此类题目时，要认真审题，大胆计算．