Question

12．【背景资料】数学家高斯5岁时，便能熟练计算：1+2+3+…+100，他的方法是：
原式=$\frac{1}{2}$（1+2+3+…+100+100+99…+2+1）=$\frac{1}{2}$（100+1）×100．
【问题解决】
（1）请你直接写出结果：1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）某公司从2012年9月初开始销售中档家用汽车，当月销售额为b万元，以后逐月增加k万元，至开业一周年之际，已累计销售732万元，至今年9月初已累计销售1752万元，今年9月以来，行情猛涨，每月销售额均比上月增长25%，这样，今年9、10两个月的销售额正好等于开业初n个月的累计销售额，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据高斯求和公式即可求解；
（2）根据待定系数法得到月销售额y（万元）与月数x之间的函数关系式，根据今年9、10两个月的销售额正好等于开业初n个月的累计销售额，列出方程求解即可．

解答 解：（1）1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）设月销售额y（万元）与月数x之间的函数关系式为y=k（x+1）+b，依题意有
$\left\{\begin{array}{l}{k+2k+…+11k+12k=732}\\{k+2k+…+23k+24k=1752}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{66k+12b=732}\\{12×23k+24b=1752}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=50}\end{array}\right.$．
则y=2（x-1）+50=2x+48，
至今年9月初，即x=24时，y=96（万元），
故今年9，10月共销售：96×（1+25%）+96×（1+25%）²=270（万元），
开业初几个月的累计销售额为50n+$\frac{n（n-2）}{2}$×2=n²+49n，
则n²+49n-270=0，
解得n₁=5，n₂=-54（舍去）．
故n的值为5．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．