Question

15．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发20分钟后与乙相遇，…，请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；
（2）当15＜y＜25时，求t的取值范围；
（3）分别求出甲、乙行驶的路程S_甲、S_乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．

Answer 1

分析 （1）设线段BC所在直线的函数表达式为y=k₁t+b₁，将点B、C的坐标代入其中得出关于k₁、b₁的二元一次方程组，解方程组即可求出结论；设线段CD所在直线的函数表达式为y=k₂t+b₂，将点C、D的坐标代入其中得出关于k₂、b₂的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）根据线段CD可求出乙骑车的速度，从而得出线段OA的函数解析式，结合题意列出关于t的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（3）根据图象求出甲开车的速度，由路程=速度×时间得出S_甲、S_乙与时间t的函数表达式，画出图形即可．

解答 解：（1）设线段BC所在直线的函数表达式为y=k₁t+b₁，
将点B（$\frac{4}{3}$，0），点C（2，30）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{2{k}_{1}+{b}_{1}=30}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=45}\\{{b}_{1}=-60}\end{array}\right.$．
故线段BC所在直线的函数表达式为y=45t-60（$\frac{4}{3}$≤t≤2）．
设线段CD所在直线的函数表达式为y=k₂t+b₂，
将点C（2，30），点D（4，0）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+{b}_{2}=30}\\{4{k}_{2}+{b}_{2}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-15}\\{{b}_{2}=60}\end{array}\right.$．
故线段CD所在直线的函数表达式为y=-15t+60（2＜t≤4）．
（2）乙骑车的速度为30÷（4-2）=15（km/h），
∴线段OA所在直线的函数表达式为y=15t（0≤t≤1），
∴点A的纵坐标为15．
当15＜y＜25时，即15＜45t-60＜25或15＜-15t+60＜25，
解得：$\frac{5}{3}$＜t＜$\frac{17}{9}$或$\frac{7}{3}$＜t＜3．
故当15＜y＜25时，t的取值范围为$\frac{5}{3}$＜t＜$\frac{17}{9}$或$\frac{7}{3}$＜t＜3．
（3）甲开车的速度15÷（$\frac{4}{3}$-1）+15=60（km/h），
∴S_甲=60（t-1）=60t-60（1≤t≤2），S_乙=15t（0≤t≤4）．
所画图形如图．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）列出关于时间t的一元一次不等式；（3）找出甲、乙的速度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合图形解决问题是关键．