Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC的延长线上，点E在BC的延长线上，DB=DE，∠AFE+∠A=180°．求证：EF=AD．

Answer 1

分析 做出如图所示的辅助线，得到∠EDG=∠G，EG=BD，由AB=AC，BD=DE，得到∠ABC=∠ACB=∠ECG，∠DBE=DEB，由此推出∠G=∠ABD，由∠A+∠AFE=180°，∠EFG+∠AFE=180°，推出∠A=∠EFG，由此得到△ABD≌△FGE，即可推出结论．

解答 证明：在AD的延长线上取一点G，使EG=ED，
则∠EDG=∠G，EG=BD，
∵AB=AC，BD=DE，
∴∠ABC=∠ACB=∠ECG，∠DBE=∠DEB，
∴∠G=∠EDG=∠DEB+∠ECG=∠ABC+DBE=∠ABD，
∵∠A+∠AFE=180°，∠EFG+∠AFE=180°，
∴∠A=∠EFG，
在△ABD和△FGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EFG}\\{BD=EG}\\{∠ABD=∠G}\end{array}\right.$，
△ABD≌△FGE，
∴AD=EF．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解决问题的关键．