Question

19．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∠BAD=90°，E，F分别CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．求证：
（1）△ADE≌△ABG；
（2）EF=DE+BF．

Answer 1

分析 （1）由SAS即可证明△ADE≌△ABG；
（2）由△ADE≌△ABG得出AE=AG，∠DAE=∠BAG，再证出∠GAF=45°，证明△AEF≌△AGF，得出EF=GF，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=90°，
在△ADE和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠D=∠ABG=90°}&{\;}\\{DE=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABG（SAS）；
（2）∵△ADE≌△ABG，
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴BAF+∠BAG=45°，
即∠GAF=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}&{\;}\\{∠EAF=∠GAF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴EF=DE+BF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．