Question

11．如图，AD是△ABC的高．在AD上取点E，使DE=BD，CE=AB，连接BE
（1）求证：AD=CD；
（2）AE=1，CE=5，求tan∠ACE的值．

Answer 1

分析 （1）由条件直接证明Rt△ADB≌Rt△CDE就可以得出AD=CD；
（2）由（1）的结论AD=CD，就可以得出∠DAC=∠DCA=45°，作EF⊥AC于F，由勾股定理求出EF和AF的值就可以求出结论．

解答 解：（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL），
∴AD=CD；
（2）作EF⊥AC于F，
∴∠AFE=90°．
∵AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DAC=45°，
∴∠AEF=45°，
∴∠FAE=∠FEA，
∴AF=EF．
∵AE=1，
∴由勾股定理，得
AF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△EFC中，CE=5，由勾股定理，得
EC=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
∴tan∠ACE=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{7}$．
答：tan∠ACE的值为$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，解答时证明三角形全等是关键．