Question

17．如图，A，B两点分别在反比例函数y=-$\frac{1}{x}$和y=$\frac{k}{x}$的图象上，连接OA、OB，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，若OA⊥OB，OB=2OA，则k的值为4．

Answer 1

分析 先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出OF=2AE，BF=2OE，设A（a，b），代入y=-$\frac{1}{x}$得出ab=-1，因为OE=-a，AE=b，所以AE•OE=-ab=1，设B（x，y），则OF=x，BF=y，即可求得k=xy=4．

解答 解：∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=2AE，BF=2OE，
∴OF•BF=2AE•2OE=4AE•OE，
∵A点在反比例函数y=-$\frac{1}{x}$上，
设A（a，b），
∴k=ab=-1，
∵OE=-a，AE=b，
∴AE•OE=-ab=1，
设B（x，y），
∴OF=x，BF=y，
∴OF•BF=4，
∴k=xy=4．
故答案为4．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．