Question

9．设n是正整数，且使得$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，求n的最大值．

Answer 1

分析 设s=$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，根据缩放法得到$\frac{3}{9+n}$＜s＜$\frac{3}{1+n}$，可得$\frac{3}{1+n}$＞$\frac{1}{7}$，解得n的范围，再从大到小找到符合题意的n的最大值．

解答 解：设s=$\frac{1}{1+n}$+$\frac{1}{4+n}$+$\frac{1}{9+n}$≥$\frac{1}{7}$，
∵n是正整数，
∴$\frac{1}{1+n}$＞$\frac{1}{4+n}$＞$\frac{1}{9+n}$，
∴$\frac{3}{9+n}$＜s＜$\frac{3}{1+n}$，
则$\frac{3}{1+n}$＞$\frac{1}{7}$，
解得n＜20，
$\frac{1}{7}$≈0.1429，
当n=19时，s=0.1292＜$\frac{1}{7}$；
当n=18时，s=0.1351＜$\frac{1}{7}$；
当n=17时，s=0.1416＜$\frac{1}{7}$；
当n=16时，s=0.1488＞$\frac{1}{7}$；
故n的最大值为16．

点评 此题考查了分式的加减法，解题的关键是得到n的范围，以及分类思想的运用．