题目内容
16．
已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出的以下四个结论：①AE=CF； ②△EPF一定是等腰直角三角形； ③S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC；
④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF=AP．（点E不与A、B重合），
上述结论中始终正确的有（ ）
| A． | ①④ | B． | ①② | C． | ①②③ | D． | ①②③④ |
分析 根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．
解答 解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PCF}\\{AP=CP}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=$\frac{1}{2}$S△ABC，①②③正确；
而AP=$\frac{1}{2}$BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，
∴故④不成立．
故始终正确的是①②③．
故选：C．
点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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