Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF=

1

2

∠CAB．
（2）若AB=5，sin∠CBF=

5

5

，求BC和BF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接AE，由圆周角定理和等腰三角形的性质，结合切线的性质可证得∠CBF=∠BAE，可证得结论；
（2）由（1）结论结合正弦值，在Rt△ABE中可求得BE，可求出BC，过C作CM⊥BF，在Rt△BCM中可求得BM，CM，再利用平行线分线段成比例可求得BF．

解答：（1）证明：如图1，连结AE．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC．
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
∴∠CBF=

1

2

∠CAB．
（2）解：由（1）可知∠CBF=∠BAE，
∴sin∠BAE=sin∠CBF=

5

5

，
在Rt△ABE中，sin∠BAE=

BE

AB

，
∴

BE

5

=

5

5

，
∴BE=

5

，
∴BC=2

5

，
如图2，过C作CM⊥BF于点M，

则sin∠CBF=

CM

BC

=

5

5

，
即

CM

2 5

=

5

5

，解得CM=2，由勾股定理可求得BM=4，
又∵AB∥CM，
∴

CM

AB

=

BF-BM

BF

，
即

2

5

=

BF-4

BF

，解得BF=

20

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质、三角函数的定义等知识点，掌握弦切角定理及三角函数的定义是解题的关键，注意平行线分线段定理的应用．