Question

四边形ABCD中，AB=BC，BE丄AD垂足为E，∠BCD-∠ABE=90°．过点C作CF∥AD交对角线BD于F，求证：CF=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过B作BQ⊥DC于Q，求出∠Q=∠BEA=90°，∠ABE=∠CBQ，根据AAS推出△BEA≌△BQC，求出BE=BQ，根据角平分线性质得出∠ADB=∠CDB，推出∠CFD=∠CDF即可．

解答：证明：过B作BQ⊥DC于Q，

∵BE⊥AD，
∴∠Q=∠BEA=90°，
∴∠BCD-90°=∠QBC，
∵∠BCD-∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CBQ，
在△BEA和△BQC中

∠ABE=∠CBQ ∠BEA=∠Q AB=BC

∴△BEA≌△BQC（AAS），
∴BE=BQ，
∵BE⊥AD，BQ⊥DC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵CF∥AD，
∴∠CFD=∠ADB，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是推出∠ADB=∠CDB，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等