Question

14．如图，已知二次函数y=x²+（1-m）x-m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC
（1）∠ABC的度数为45°；
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE²+PE²=CD²+PD²，得出P点坐标即可；
（3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（-m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案．

解答 解：（1）令x=0，则y=-m，C点坐标为：（0，-m），
令y=0，则x²+（1-m）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
故答案为：45°；

（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为：x=$\frac{-1+m}{2}$，
设点P坐标为：（$\frac{-1+m}{2}$，n），
∵PA=PC，
∴PA²=PC²，
即AE²+PE²=CD²+PD²，
∴（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+n²=（n+m）²+（$\frac{1-m}{2}$）²，
解得：n=$\frac{1-m}{2}$，
∴P点的坐标为：（$\frac{-1+m}{2}$，$\frac{1-m}{2}$）；

（3）存在点Q满足题意，
∵P点的坐标为：（$\frac{-1+m}{2}$，$\frac{1-m}{2}$），
∴PA²+PC²=AE²+PE²+CD²+PD²，
=（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+（$\frac{1-m}{2}$）²+（$\frac{1-m}{2}$+m）²+（$\frac{1-m}{2}$）²
=1+m²，
∵AC²=1+m²，
∴PA²+PC²=AC²，
∴∠APC=90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（-m，0）或（0，m），
①如图1，当Q点坐标为：（-m，0）时，
若PQ与x轴垂直，则$\frac{-1+m}{2}$=-m，
解得：m=$\frac{1}{3}$，PQ=$\frac{1}{3}$，
若PQ与x轴不垂直，
则PQ²=PE²+EQ²
=（$\frac{1-m}{2}$）²+（$\frac{-1+m}{2}$+m）²
=$\frac{5}{2}$m²-2m+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$（m-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{1}{10}$
∵0＜m＜1，
∴当m=$\frac{2}{5}$时，PQ²取得最小值$\frac{1}{10}$，PQ取得最小值$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{3}$，
∴当m=$\frac{2}{5}$，即Q点的坐标为：（-$\frac{2}{5}$，0）时，PQ的长度最小，
②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，
若PQ与y轴垂直，则$\frac{1-m}{2}$=m，
解得：m=$\frac{1}{3}$，PQ=$\frac{1}{3}$，
若PQ与y轴不垂直，
则PQ²=PD²+DQ²=（$\frac{1-m}{2}$）²+（m-$\frac{1-m}{2}$）²
=$\frac{5}{2}$m²-2m+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$（m-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{1}{10}$，
∵0＜m＜1，
∴当m=$\frac{2}{5}$时，PQ²取得最小值$\frac{1}{10}$，PQ取得最小值$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{3}$，
∴当m=$\frac{2}{5}$，即Q点的坐标为：（0，$\frac{2}{5}$）时，PQ的长度最小，
综上所述：当Q点坐标为：（-$\frac{2}{5}$，0）或（0，$\frac{2}{5}$）时，PQ的长度最小．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．