Question

6．若$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$，对任意自然数n都成立，则a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$；计算：m=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{19×21}$=$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．

解答 解：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{b}{2n+1}$=$\frac{a（2n+1）+b（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$，
可得2n（a+b）+a-b=1，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$；
m=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{21}$）=$\frac{10}{21}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$；-$\frac{1}{2}$；$\frac{10}{21}$．

点评 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．