题目内容
9．
如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+nx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0）．（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，四边形CDBN的面积最大？求出四边形CDBN的最大面积及此时M点的坐标．
分析 （1）将点A代入抛物线解析式，可得n的值，继而可得抛物线的表达式；
（2）因为P在抛物线对称轴上，则可分两种情况讨论，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，分别求出点P坐标即可；
（3）先确定直线BC解析式，设出点M坐标，继而得出点N坐标表示出MN的长度，再由S四边形CDBN=S△CDB+S△BMN+S△CMN，结合二次函数的最值，即可确定点M的坐标及最大面积．
解答 解：（1）把点A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x2+nx-2得，n=-$\frac{3}{2}$，
即抛物线的表达式为：y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）存在．
∵y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2，
∴抛物线对称轴为：x=$\frac{3}{2}$，
①当∠CPD=90°时，很显然点P坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）；
②当∠PCD=90°时，如图①所示：
CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵cos∠CDP=$\frac{CD}{PD}$=cos∠DCO=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴PD=$\frac{25}{8}$，
则点P坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
综上可得：存在点P，使△PCD是直角三角形，点P坐标为（$\frac{3}{2}$，-2）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（3）过线段BC上一点M作MN⊥x轴，垂足为F，与抛物线交于点N，过点C作CE⊥MN，垂足为E，如图②所示：
由二次函数解析式可得点B（4，0），点C（0，-2），
设BC解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设点M的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m-2），则点N的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2），
MN=（$\frac{1}{2}$m-2）-（$\frac{1}{2}$m2-$\frac{3}{2}$m-2）=-$\frac{1}{2}$m2+2m，
∴S四边形CDBN=S△CDB+S△BMN+S△CMN
=$\frac{1}{2}$BD×OC+$\frac{1}{2}$MN×BF+$\frac{1}{2}$MN×CE
=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{3}{2}$）×2+$\frac{1}{2}$MN（BF+CE）
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m2+2m）×4
=-m2+4m+$\frac{5}{2}$
=-（m-2）2+$\frac{13}{2}$，
当m=2时，S四边形CDBN有最大值，最大值为$\frac{13}{2}$，此时点M的坐标为（2，-1）．
点评 本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、三角形的面积，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．
探索规律将连续的偶2，4，6，8，…，排成如表：
如图所示，AD为半圆O的直径，AB，CD与半圆O相切于A，D两点，BC与半圆O相切于点E．若AB=4，CD=9，则半圆O的直径是多少？
△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB=5，AC=3，求线段AD的长的取值范围．
如图，每个正方形的边长都是1，分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=-1（记为n）对称的图形，它们的对应点的坐标之间分别有什么关系？
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ①④ | D． | ②④ |