Question

1．P为四边形ABCD内一点，如果△PAB和△PCD都是以AB，CD为底的等腰直角三角形，则该四边形称为“对底四边形”，AB，CD叫底．
（1）对底四边形中，以下结论：①对角线相等；②对角线互相垂直；③对边的平方和相等；④有一对三角形面积相等，正确的是①②③④；
（2）若对底四边形的底为m，n，面积为S，则S的取值范围是$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD，如图1，由△PAB和△PCD都是等腰直角三角形，可证得△BPD≌△APC，根据全等三角形的性质可得AC=BD，∠PBD=∠PAC，从而可得∠AOB=∠APB=90°，然后运用勾股定理就可证得AB²+CD²=AD²+BC²．过点C作CF⊥BP，交BP的延长线于F，过点D作DE⊥AP于E，如图2，不妨设AB=m，CD=n，∠APD=α，根据同角的余角相等可得∠FPC=∠APD=α，然后运用三角函数表示出△APD和△BPC的高，就可得到△APD和△BPC的面积相等；
（2）利用（1）中的结论，可得S=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mnsinα，然后借助于sinα的取值范围，就可得到S的范围．

解答 解：（1）连接AC、BD，如图1，

∵△PAB和△PCD都是以AB，CD为底的等腰直角三角形，
∴PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD=90°，
∴∠BPD=∠APC．
在△BPD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{∠BPD=∠APC}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△APC，
∴AC=BD，∠PBD=∠PAC，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴AC⊥BD，
∴AB²=AO²+BO²，DC²=DO²+OC²，AD²=OA²+OD²，BC²=OB²+OC²，
∴AB²+CD²=AD²+BC²．
过点C作CF⊥BP，交BP的延长线于F，过点D作DE⊥AP于E，如图2，

不妨设AB=m，CD=n，∠APD=α，
则有∠FPC=90°-∠DPF=∠APD=α，
∴DE=DPsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα，CF=CPsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•DE=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$m•$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα=$\frac{1}{4}$mnsinα，
S_△BPC=$\frac{1}{2}$BP•CF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$m•$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα=$\frac{1}{4}$mnsinα，
∴S_△APD=S_△BPC．
综上所述：①②③④正确．
故答案为①②③④；

（2）S=S_△ABP+S_△CPD+S_△APD+S_△BPC
=$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n•$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{4}$mnsinα+$\frac{1}{4}$mnsinα
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mnsinα．
∵0＜sinα≤1，
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．
故答案为$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、三角函数值的范围等知识，运用0＜sinα≤1是解决第2小题的关键．