Question

6．如图，G是△ABC的重心，其中△ABG、△ACG、△BCG的面积分别表示为S₁、S₂、S₃，那么有（　　）

• A． S₁=S₂=S₃
• B． S₁＜S₂＜S₃
• C． S₁=S₂＜S₃
• D． S₁=S₂＞S₃

Answer 1

分析 延长AG交BC于点D，则D是BC中点，过点B作BE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，则易证△BDE≌△CDF，从而得出BE=CF，则△ABG与△ACG同底等高，面积相等，同理可证这三块面积两两相等，即三块面积相等．

解答 解：延长AG交BC于点D，则D是BC中点，过点B作BE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，如图，

∵G是△ABC重心，
∴AD是△ABC中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{∠BED=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，
∴${S}_{1}=\frac{1}{2}×AG×BE=\frac{1}{2}×AG×CF$=S₂，
同理可证：S₂=S₃，
∴S₁=S₂=S₃．

点评 本题主要考查重心的定义和性质．只要明白重心就是三条中线的交点，那么问题就变得简单．事实上，由共边定理是可以直接得结论的，或者说由小学奥数中燕尾定理也是可以直接得结论的．对于不知道这些内容的同学就按照这里所给出的证明方法理解．