在正方形ABCD中.有一直径为CD的半圆.圆心为点O.CD=2.现有两点E.F.分别从点A.点C同时出发.点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动.点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动.当点F运动到点B时.点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s).回答下列问题:(1)如图①.根据下列条件.分别求出t的值．①EF与半圆相切,②△EOF是等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD=2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t（s），回答下列问题：

（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．
①EF与半圆相切；
②△EOF是等腰三角形．
（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ+OQ的最小值与最大值．

分析（1）①如图，设EF与半圆相切于点G，由切线长定理可知ED=EG，FC=FG，在Rt△EHF中，利用勾股定理列出方程即可解决问题；
②分三种情形讨论，分别列出方程求解即可；
（2）①当点P在半圆上时，PQ的最小值为0，此时PQ+OQ的最小值为1．②当点F运动到B时，点P与点O之间的结论最大，当Q与D重合时，PQ+OQ的值最大；

解答解：（1）①如图，设EF与半圆相切于点G，

过点E作EH⊥BC，垂足为点H．如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，
∴OD⊥AD，
∴AD与半圆相切于点D，
同理可证：BC与半圆相切于点C，
∴ED=EG=2-t，CF=FG=2t，
∴EF=2+t，
∵EH⊥BC，垂足为点H，∴∠BHE=90°，
∵∠A=∠B=90°，∴四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=2，BH=AE=t，
∴HF=2-3t，
在△EHF中，∠EHF=90°，
∴EH²+HF²=EF²，
∴2²+（2-3t）²=（2+t）²，
解这个方程，得t₁=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，t₂=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞1（不合题意，舍去），
∴当EF与半圆相切时，t的值为1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

②在△EDO中，∵∠EDO=90°，
∴OE²=t²-4t+5，
同理可证：OF²=1+4t²，EF²=9t²-12t+8，
第一种情况：当OE=OF时，则OE²=OF²，
∴t²-4t+5=1+4t²，
解这个方程，得t₁=$\frac{2}{3}$＜1，t₂=-2＜0（不合题意，舍去），
第二种情况：当OE=EF时，则OE²=EF²，
∴t²-4t+5=9t²-12t+8，此方程无解，
第三种情况：当OF=EF时，则OF²=EF²，
∴1+4t²=9t²-12t+8，
解这个方程，得t₁=1，t₂=1.4＞1（不合题意，舍去），
综上所述：当△EOF是等腰三角形时，t的值为$\frac{2}{3}$或1．

（2）如图

①当点P在半圆上时，PQ的最小值为0，此时PQ+OQ的最小值为1．
②当点F运动到B时，点P与点O之间的结论最大，当Q与D重合时，PQ+OQ的值最大，最大值=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+1=1+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴PQ+OQ的最小值为1，最大值为1+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．