Question

15．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作直线EF交AD于E，交BC于F．
（1）求证：OE=OF；
（2）过点O作OG⊥EF，交CD于G，连接EG，求证：AE²+CG²=EG²．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，证出EG=FG，由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DAC}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF；

（2）证明：连接FG，如图所示：
∵△AOF≌△COE，
∴AE=CF，
∵OE=OF，OG⊥EF，
∴EG=FG，
在Rt△FCG中，FC²+CG²=FG²，
∴AE²+CG²=EG²．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．