Question

4．已知长方形ABCD的边长AB=9，AD=3，现将此长方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，经过点C的直线y=$\frac{1}{2}$x-2与x轴交于点E，与y轴交于点F．
（1）求点E、B的坐标；
（2）求四边形AECD的面积；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PEF为等腰三角形？若存在，则求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=$\frac{1}{2}$x-2，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，根据四边形ABCD为矩形，得到对边相等，求出BC的长，即为C纵坐标，代入直线解析式求出C横坐标，即可确定出B坐标；
（2）由B与E的横坐标之差求出EB的长，四边形AECD面积=矩形ABCD面积-三角形ECB面积，求出即可；
（3）在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，如图所示，分三种情况考虑：若P₁F=EF；若EF=P₂F；若P₃F=P₃E；分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{1}{2}$x-2，
令x=0，得到y=-2；令y=0，得到x=4，
∴E（4，0），F（0，-2），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=3，DC=AB=9，
把y=3代入直线y=$\frac{1}{2}$x-2，得：x=10，即B（10，0）；
（2）∵E（4，0），B（10，0），
∴EB=10-4=6，
∴S_{四边形AECD}=S_矩形ABCD-S_△ECB=9×3-$\frac{1}{2}$×6×3=27-9=18；
（3）存在，如图所示，分三种情况考虑：
若P₁F=EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OP₁=OF+P₁F=2+2$\sqrt{5}$，
此时P₁（0，-2-2$\sqrt{5}$）；
若EF=P₂F=2$\sqrt{5}$，
∴OP₂=P₂F-OF=2$\sqrt{5}$-2，
此时P₂（0，2$\sqrt{5}$-2）；
若P₃F=P₃E，此时P₃在线段EF垂直平分线上，
线段EF垂直平分线为y+1=-2（x-2），即y=-2x+3，
令x=0，得到y=3，此时P₃（0，3），
综上，在y轴上存在一点P，使△PEF为等腰三角形，此时P的坐标为（0，-2-2$\sqrt{5}$）或（0，2$\sqrt{5}$-2）或（0，3）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，矩形的性质，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．