Question

15．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且FB为⊙O的切线；
（1）求证：∠CBF=∠CDB．
（2）若AB=8，CE=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由切线的性质和圆周角定理可求得∠OBF=∠CBD=90°，再利用角的和差可求得∠CBF=∠OBD，再由圆的性质可求得∠CDB=∠OBD，可证得结论；
（2）可设半径为r，则OE=r-2，由垂径定理可求得BE=4，在Rt△OBE中，由勾股定理可列方程，可求得r，则可求得⊙O的直径．

解答 （1）证明：
如图，连接OB，
∵FB为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，即∠OBF=90°，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBC+∠DBO=90°，
∴∠CBF=∠DBO，
∵OB=OD，
∴∠CDB=∠DBO，
∴∠CBF=∠CDB；
（2）解：
设⊙O的半径为r，则OE=OC-CE=r-2，
∵AB⊥CD，且CD为直径，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OBE中，由勾股定理可得OB²=OE²+BE²，
∴r²=（r-2）²+4²，解得r=5，
∴⊙O的直径为10．

点评 本题主要考查切线的性质及垂径定理，在（1）中利用切线的性质和圆周角定理求得∠OBD=∠CBF是解题的关键，在（2）中注意方程思想的应用．