Question

7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+2x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，其中点B在点A的右侧，点A的坐标（-1，0），抛物线与y轴交于点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作y轴平行线，交直线BC于点E，设点P的横坐标为t，线段PE的长度为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将射线PE绕点P顺时针旋转45°，交抛物线于点Q，当PQ：PE=2$\sqrt{2}$：3时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把点A坐标代入抛物线的解析式解方程即可．
（2）首先求出直线BC的解析式，设P（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3），分三种情形①当t＜0时，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．②0＜t＜3时，d=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t．
③t＞3时，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．分别求解即可．
（3）分两种情形讨论）①如图1中，当t＜0时，由题意PQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$PE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（t²-3t），想办法用t表示Q点坐标，利用待定系数法即可解决问题．②如图2中，当0＜t＜3时，方法类似①．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=-x²+2x+c得0=-1-2+c，
∴c=3，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）对于抛物线y=-x²+2x+3，令y=0，得-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（t，-t²+2t+3），则E（t，-t+3），
①当t＜0时，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．
②0＜t＜3时，d=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t．
③t＞3时，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．

（3）①如图1中，当t＜0时，由题意PQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$PE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（t²-3t），

∵∠EPQ=45°，P（t，-t²+2t+3），
∴点Q是横坐标为t+$\frac{2}{3}$（t²-3t）=$\frac{2}{3}$t²-t，点Q的纵坐标为-t²+2t+3+$\frac{2}{3}$（t²-3t）=-$\frac{1}{3}$t²+3，
∴Q（$\frac{2}{3}$t²-t，-$\frac{1}{3}$t²+3），
把点Q坐标代入y=-x²+2x+3，得-$\frac{1}{3}$t²+3=-（$\frac{2}{3}$t²-t）²+2（$\frac{2}{3}$t²-t）+3，
整理得2t³-6t²-3t+9=0，
∴2t²（t-3）-3（t-3）=0，
∴（t-3）（2t²-3）=0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3，
∵t＜0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

②如图2中，当0＜t＜3时，

同法可得Q（$\frac{2}{3}$t²-t，-$\frac{1}{3}$t²+3），
把点Q坐标代入y=-x²+2x+3，得-$\frac{1}{3}$t²+3=-（$\frac{2}{3}$t²-t）²+2（$\frac{2}{3}$t²-t）+3，
整理得2t³-6t²-3t+9=0，
∴2t²（t-3）-3（t-3）=0，
∴（t-3）（2t²-3）=0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
③当t＞3时，射线PQ与抛物线没有交点．
综上所述，在（2）的条件下，将射线PE绕点P顺时针旋转45°，交抛物线于点Q，当PQ：PE=2$\sqrt{2}$：3时，t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．