Question

【题目】如图，是等边三角形，，在上且，是直线 上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时， 则线段的最小值是________．

Answer 1

【答案】1+

【解析】

过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF=EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF=1+．

解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，

∵∠DEF=90°，

∴∠EDG+∠DEG=90°=∠HEF+∠DEG，

∴∠EDG=∠FEH，

又∵EF=DE，

∴△DEG≌△EFH（AAS），

∴HF=EG，

∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=AC，

∴AE=2，CE=1，∠AEH=∠CEG=30°，

∴CG=CE=，AP=AE=1，

∴EG=tan60°×CG=CG=，

∴HF=，

∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，

∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF=1+，

故答案为：1+．