Question

13．如图，△ABC与△BDE为等边三角形，连接AD，EC，AD中点为M，EC中点为N，BM，BN，MN，求证：△BMN为等边三角形．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，得出∠ABD=∠CBE，由SAS证明△ABD≌△CBE，得出AD=CE，∠BAM=∠BCN，由已知条件得出AM=CN，由SAS证明△ABM≌△CBN，得出BM=BN（即△BMN是等边三角形），∠ABM=∠CBN，证出∠MBN=60°，即可得出结论．

解答 证明：∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，BD=BE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABD=∠CBE}&{\;}\\{BD=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAM=∠BCN，
∵AD中点为M，EC中点为N，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$CE，
∴AM=CN，
在△ABM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}&{\;}\\{∠BAM=∠BCN}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴BM=BN（即△BMN是等边三角形），∠ABM=∠CBN，
∵∠ABM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
即∠MBN=60°，
∴△BMN为等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．