Question

17．如图：已知直线y₁=-2x+3和直线y₂=mx-1分别交y轴于点A、B，两直线交于点C（1，n）．
（1）求m、n的值；           
（2）在x轴上求点P的坐标，使△PAC的周长最小；
（3）求点A到直线y₂=mx-1的距离．

Answer 1

分析 （1）先利用直线y₁求出点C坐标，再利用直线y₂求出m的值．
（2）点A关于x轴的对称点A′（0，-3），求出直线A′C与x轴的交点即可解决问题．
（3）求出AB、BC利用面积法即可解决．

解答 解：（1）∵点C（1，n）在直线y₁=-2x+3上，
∴n=-2+3=1，
∴点C坐标（1，1）代入直线y₂=mx-1得m=2，
∴m=2，n=1．
（2）∵点A坐标（0，3），点C坐标（1，1），
点A关于x轴的对称点A′（0，-3），
设直线A′C为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴直线A′C为y=4x-3，
直线A′C与x轴的交点就是所求的点P，此时△ACP周长最小，
∴点P坐标（$\frac{3}{4}$，0）．
（3）∵A（0，3），B（0，-1），C（1，1），设点A到直线线y₂=mx-1的距离为h，
∴AB=4，BC=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴点A到直线y₂=mx-1的距离为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题关键是利用轴对称正确找到点P的位置，利用一次函数解决点P坐标，属于中考常考题型．