已知在△ABC中.∠BAC=90°.过点C的直线EF∥AB.D是BC上一点.连接AD.过点D分别作GD⊥AD.HD⊥BC.交EF和AC于点G.H.连接AG．(1)当∠ACB=30°时.如图1所示．①求证:△GCD∽△AHD,②试判断AD与DG之间的数量关系.并说明理由,(2)当tan∠ACB=$\frac{4}{5}$时.如图2所示.请你直接写出AD与DG之间的数量关系� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．

（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．
①求证：△GCD∽△AHD；
②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；
（2）当tan∠ACB=$\frac{4}{5}$时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．

分析（1）①根据平行线的性质得到∠GCM=∠BAC=90°，根据垂直的定义得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠CGD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；②根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，根据tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，即可得到结论．

解答（1）①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，
∴∠GCM=∠BAC=90°，
∵GD⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠GCA=∠ADM，
∵∠AMD=∠GMC，
∴∠DAH=∠CGD，
∵∠ADH=∠CDG=90°-∠HDG
∴△GCD∽△AHD；
②解：由①知：△GCD∽△AHD，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$，
在Rt△DHC中，
∵∠ACB=30°，
$\frac{DH}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）5AD=4DG，
解：由①知△GCD∽△AHD，
在Rt△DHC中，
∵tan∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{DG}=\frac{DH}{CD}$=$\frac{4}{5}$．