Question

17．如图，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，点E是边AB上的任意一点（E与A，B两点不重合），过点E作ED⊥CE，过点B作BD⊥BC，BD与ED相交于点D．

（1）当点E是AB边中点时．如图1，CE与DE有怎样的数量关系；
（2）当点E不是AB边中点时．如图2，CE与DE有怎样的数量关，并说明理山；
（3）当点E在AB的延长线上时．如图3．CE与DE有怎样的数量关系．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：CE=DE．如图1中，取AC的中点M，连接EM．只要证明△CME≌△EBD，即可解决问题．
（2）结论：CE=DE．如图2中，在AC上取一点M，使得CM=EB，只要证明△CME≌△EBD，即可解决问题．
（3）结论：CE=DE．如图3中，在AC的延长线上取一点M，使得CM=BE，只要证明△CME≌△EBD，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：CE=DE，理由如下，
如图1中，取AC的中点M，连接EM．

∵AC=AB，∠A=∠CED=90°，
∴∠DEB+∠AEC=90°，∠MEC+∠ACE=90°，∠ABC=45°，
∴∠MCE=∠DEB，
∵AM=MC，AE=EB，
∴MC=EB，AM=AE，
∴∠AME=45°，∠CME=135°，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°，∠EBD=135°，
∴∠CME=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

（2）结论：CE=DE，理由如下，
如图2中，在AC上取一点M，使得CM=EB，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°，
∴∠CME=135°=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．


（3）结论：CE=DE，理由如下，
如图3中，在AC的延长线上取一点M，使得CM=BE，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°=∠DBE，
∵∴∠DEF+∠AEC=90°，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠DEF，
∴∠MCE=∠BED，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．