Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．
（1）求AB长；
（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；
（3）t为何值时，△APM为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥x轴于点D，利用勾股定理求出AB的长度；
（2）先判断出点M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面积公式即可；
（3）△APM为直角三角形时，由于没有规定哪个顶点是直角顶点，所以分三种情况进行讨论；利用锐角三角函数或相似三角形的性质即可．

解答 解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），
∴AO=10，BD=8，AD=6，
由勾股定理可求得：AB=10，
（2）∵AB=10，
∴10÷2=5，
∵0≤t≤5，
∴点M在AB上，
作ME⊥OA于E，
∴△AEM∽△ADB，
∴$\frac{ME}{BD}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{ME}{8}=\frac{2t}{10}$，
∴ME=$\frac{8}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$PA•ME=$\frac{1}{2}$（10-t）$•\frac{8}{5}t$=-$\frac{4}{5}{t}^{2}+8t$=-$\frac{4}{5}$（t-5）²+20，
∵0≤t≤5，
∴t=5时，S取最大值，此时PA=10-t=5，
即：点P在OA的中点处．
（3）由题意可知：0≤t≤7，
当点P是直角顶点时，
∴PM⊥AP，
∴PA=10-t，
若0≤t≤5时，点M在AB上，如图2，
此时AM=2t，
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AP}{AM}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{10-t}{2t}=\frac{3}{5}$
∴t=$\frac{50}{11}$，
若5＜t≤7时，点M在BC上，如图3，
∴CM=14-2t，OP=t，
∴OP=CM，
∴t=14-2t，
∴t=$\frac{14}{3}$，
当点A是直角顶点时，
此时，∠MAP不可能为90°，此情况不符合题意；
当点M是直角顶点时，
若0≤t≤5时，M在AB上，如图4，
此时，AM=2t，AP=10-t
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AM}{AP}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2t}{10-t}=\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{30}{13}$，
若5＜t≤7时，点M在BC上，如图5，
过点M作ME⊥x轴于点E，
此时，CM=14-2t，OP=t，
∴ME=8，PE=CM-OP=14-3t，
∴EA=10-（14-2t）=2t-4，
∵∠PMA=∠MEA=90°，
∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，
∴∠PME=∠MAP，
∴△PME∽△MAE，
∴$\frac{ME}{PE}=\frac{EA}{ME}$，
∴ME²=PE•EA，
∴64=（14-3t）（2t-4），
∴3t²-8t+60=0，
△=-656＜0，故此情况不存在；
综上所述，t=$\frac{50}{11}$或$\frac{30}{13}$；

点评 此题是三角形的综合问题，涉及平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，解方程等知识，画出图形是解本题的关键，综合程度较高．