Question

13．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．

解答 解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，
∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=2$\sqrt{3}$．
∴等边△ABC的边长为2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．