Question

8．如图①，点A、B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA、OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP和△OBQ，点C、D分别是OA、OB的中点，且四边形CODE是平行四边形．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）如图②，延长PC，QD交于点R．若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质得到∠PCE=∠EDQ，根据边角边公理证明即可；
（2）连结RO，根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理得到AR=OR=BR，根据等边三角形的判定定理证明即可．

解答 （1）证明：∵△OAP是等腰直角三角形，且点C是OA的中点，
∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形，
∴PC=AC=OC，∠PCO=90°，
同理：QD=OD=BD，∠QDO=90°，
∵四边形CODE是平行四边形，
∴CE=OD，ED=OC，
∴ED=PC，QD=CE，
∵CE∥ON，DE∥OM，
∴∠ACE=∠AOD，∠BDE=∠AOD，
∴∠ACE=∠BDE，
∴∠OCE=∠ODE，
∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO，
即∠PCE=∠EDQ，
在△PCE与△EDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}PC=ED\\∠PCE=∠EDQ\\ CE=DQ\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△EDQ；

（2）连结RO，
∵△OAP和△OBQ均为等腰直角三角形，点C、D分别是OA、OB的中点，
∴PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AR=OR=BR，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORD=∠BRD，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等边三角形．

点评 本题考查的是等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定定理是解题的关键．