Question

在△OAB中，OA=OB，AB=6，∠AOB=120°，⊙O与AB相切于点C，与OB交于点D，则扇形OCD的面积等于________．

Answer 1

分析：由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于AB，由OA=OB，利用三线合一得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，得到OC为角平分线，求出∠AOC与∠BOC的度数为60°，在直角三角形AOC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA=2OC，设OC=x，可得OA=2x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC的长，即为扇形的半径，利用扇形的面积公式即可求出扇形COD的面积．
解答：∵AB为圆O的切线，
∴OC⊥AB，又OA=OB，
∴C为AB的中点，即AC=BC=3，OC平分∠AOB，
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
设OC=x，则OA=2OC=2x，
根据勾股定理得：OA²=AC²+OC²，即（2x）²=9+x²，
解得：x=或x=-（舍去），
∴OC=，
则S_扇形COD==．
故答案为：
点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．