Question

四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞

1

2

（AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有

OA+OD＞AD

，
在△ODC中有

OD+OC＞CD

，
在△

OBC

中有

OB+OC＞BC

，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即：

2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA

，
即：AC+BD＞

1

2

（AB+BC+CD+DA）

Answer 1

分析：直接根据三角形的三边关系进行解答即可．

解答：证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB
在△OAD中有OA+OD＞AD，
在△ODC中有OD+OC＞CD，
在△OBC中有OB+OC＞BC，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
即AC+BD＞

1

2

（AB+BC+CD+DA）．
故答案为：OA+OD＞AD；OD-OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．

点评：本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．