Question

如图，在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙0经过AB的中点C，直线AO与⊙0相交于点D、E，连接CD、CE．
（1）求证：AB是⊙0的切线；
（2）求证：△ACD∽△AEC．

Answer 1

分析：（1）由在△OAB中，OA=OB，以点O为圆心的⊙0经过AB的中点C，根据三线合一的性质，可证得OC⊥AB，即可证得AB是⊙0的切线；
（2）易证得∠ACD=∠E，又由∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△ACD∽△AEC．

解答：证明：（1）连接OC，
∵在△OAB中，OA=OB，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵⊙0经过AB的中点C，
∴AB是⊙0的切线；

（2）∵AB是⊙0的切线，
∴∠OCD+∠ACD=90°，
∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠E+∠CDE=90°，
∵OD=OC，
∴∠CDE=∠OCD，
∴∠ACD=∠E，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△AEC．

点评：此题考查了切线的判定与相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．