Question

如图，等边三角形ABC中，AB=4，D是直线BC上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，若△BCE的面积为

3

，则线段CD的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：作EH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=60°，再利用旋转的性质得∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，利用平角定义可计算出∠ECH=60°，再根据三角形面积公式求出EH=

3

2

，然后在Rt△CEH中，利用∠ECH的正弦可求出CE=1，则BD=1，于是CD=BC-BD=3．

解答：解：作EH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=60°，
∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°，CE=BD，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠ACE=60°，
∵△BCE的面积为

3

，
∴

1

2

•BC•EH=

3

，即

1

2

×4×EH=

3

，解得EH=

3

2

，
在Rt△CEH中，∵sin∠ECH=

EH

CE

，
∴CE=

3 2

sin60°

=1，
∴BD=1，
∴CD=BC-BD=4-1=3．
故答案为3．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．