Question

18．如图，四边形ABCD是菱形．∠ABC=60°，点E是BC边上一点，∠AEF=60°，且EF交直线CD于点F，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 在线段BA上截取BM=BE．只要证明△AME≌△ECF（ASA）即可证明．

解答 证明：在线段BA上截取BM=BE．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AB∥CD，
∵∠B=60°，BM=BE，
∴△BEM是等边三角形，AM=EC，∠C=120°
∴∠BME=∠BEM=60°，
∴∠AME=120°=∠C，
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC，∠AEF=∠B=60°，
∴∠FEC=∠EAM
在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠C}\\{AM=EC}\\{∠EAM=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．