Question

11．如图，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，点P是射线AB上的一个动点，∠CPM=30°，点Q是射线PM上的一个动点．则CQ长度的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可知：当CP确定时则当CQ⊥PM时，CQ最小，而CP最小时则CQ也最小，故当CP⊥AN时，CP最小，由直角三角形的性质和三角函数的定义可求得CP的最小值为5，可求得CQ最小值．

解答 解：由题意可知当CP最小时，可知在△CPQ中当CQ⊥PM时，CQ有最小值，
当CP⊥AN，CQ⊥PM时，如图，
∵在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，
∴PC=5，
∵在Rt△CPQ中，∠CPM=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{5}{2}$，
则CQ的最小值是$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查直角三角形的性质及三角函数的定义，找到当CQ取得最小值时的点P和点Q的位置是解题的关键．