Question

13．如图，直线y=x+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，延长AO交双曲线于C点，连接BC，且AB=2BC=4$\sqrt{2}$，则k=3．

Answer 1

分析 过O作OD⊥AB于点D，根据直线y=x+b中的k=1得到OD所在直线为y=-x，于是得到直线y=x+b关于此直线轴对称，双曲线y=k/x关于O中心对称，求得AD=BD，AO=OC，根据平行线的性质得到BC⊥AC，设A（x，y）则B（-y，-x），根据勾股定理和两点间的距离公式得到（2x）²+（2y）²=（2$\sqrt{10}$）²，（x+y）²+（y+x）²=（4$\sqrt{2}$）²求得点A 坐标为（1，3）于是得到结论．

解答 解：过O作OD⊥AB于点D，
∴OD所在直线为y=-x，
∴直线y=x+b关于此直线轴对称，双曲线y=k/x关于O中心对称，
∴AD=BD，AO=OC，
∴OD∥BC，
∴BC⊥AC，
设A（x，y）则B（-y，-x），
∵AB=2BC=4$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴（2x）²+（2y）²=（2$\sqrt{10}$）²，（x+y）²+（y+x）²=（4$\sqrt{2}$）²
解得x=1，y=3
∴点A 坐标为（1，3）
∴k=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，勾股定理，两点间的距离公式，正确的理解题意是解题的关键．