Question

13．观察下列等式：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$=5$\sqrt{\frac{5}{24}}$…对于一般的自然数n，将有等式$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n为自然数）．

Answer 1

分析 根据已知可以发现：等号左边是一个二次根式，其被开方数为一个整数与一个分数的和，分数的分子与整数相同，分母比分子的平方小1，等号右边是左边的整数乘以分数的算术平方根的积，从而得出规律求出即可．

解答 解：∵$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}$=5$\sqrt{\frac{5}{24}}$，
…，
∴对于一般的自然数n，将有等式$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n为自然数）．
故答案为$\sqrt{n+2+\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$=（n+2）$\sqrt{\frac{n+2}{（n+2）^{2}-1}}$（n为自然数）．

点评 此题主要考查了数的规律知识，根据已知等式得出变化规律是解决问题的关键．