题目内容

5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=17cm，BC=20cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB方向向点B以3cm/s的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）点P运动几秒时，四边形PQCD是平行四边形？并写出你的推理过程；
（2）在点P运动的过程中，是否存在四边形PQBA是矩形的时刻？若存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）当四边形PQBA是正方形时，求CD的长．

分析 设出运动时间t，表示出AP，CQ，PD，BQ，
（1）由四边形PQCD是平行四边形，得出PD=CQ，建立方程求解即可；
（2）由四边形PQBA是矩形，得出AP=BQ建立方程求解即可；
（3）由（2）和四边形PQBA是正方形，得出DE=AB=AP=3，再用勾股定理求解即可．

解答 解：设运动时间为t，则AP=t，CQ=3t，
∴PD=17-t，BQ=20-3t，
（1）∵四边形PQCD是平行四边形，且AD∥BC，
∴PD=CQ，
∴17-t=3t，
∴t=$\frac{17}{4}$，
即：点P运动$\frac{17}{4}$秒时，四边形PQCD是平行四边形；
（2）存在，
理由：∵四边形PQBA是矩形，且AD∥BC，∠B=90°，
∴AP=BQ，
∴t=20-3t，
∴t=5，
即：运动时间为5秒时，四边形PQBA是矩形，
（3）如图，

过点D作DE⊥BC，
∴四边形ADEB是矩形，
∴DE=AB，BE=AD，
由（2）有t=5时，四边形PQBA是矩形，
∴AP=t=5，
∵四边形PQBA是正方形，
∴AB=AP=5，
∴DE=AB=5，
在Rt△CDE中，DE=4，CE=BC-BE=BC-AD=20-17=3，
根据勾股定理得，CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{25+9}$=$\sqrt{34}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形，矩形，正方形的性质，勾股定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题．

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