Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+2=0
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=10，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=2（m+1）、x₁•x₂=m²+2，结合x₁²+x₂²=10即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0有实数根，
∴△=[-2（m+1）]²-4（m²+2）=8m-4≥0，
解得：m≥$\frac{1}{2}$．
（2）∵方程x²-2（m+1）x+m²+2=0的两实数根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m+1），x₁•x₂=m²+2，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=[2（m+1）]²-2（m²+2）=2m²+8m=10，
解得：m₁=-5（舍去），m₂=1．
∴实数m的值为1．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程解的情况找出关于m的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=10找出关于m的一元二次方程．