Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD=BE；                                    
（2）已知CD=2，求AC的长；
（3）求证：AB=AC+CD．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；
（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE，
∴CD=BE；

（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE=BE=CD，
∴DE=BE=CD=2，
∴BD=

DE2+BE2

=

22+22

=2

2

，
∴AC=BC=CD+BD=2+2

2

；

（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵

AD=AD CD=DE

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=AC．
∵由（1）知CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

点评：本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．