Question

2．如图所示，四边形ABCD中，∠A=75°，∠B=60°，∠C=135°，AD=DC=$\sqrt{2}$，M是AB中点，求DM的长．

Answer 1

分析 延长CD至E，使DE=CD，由已知条件得出DE=AD=$\sqrt{2}$，由四边形内角和定理求出∠ADC=90°，得出△ADC是等腰直角三角形，得出AC=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAC=45°，证出△ADE是等腰直角三角形，得出AE=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAE=45°，求出BC=$\frac{1}{2}$AC=1，证明AE∥BC，得出四边形ABCE是梯形，证出DM是梯形ABCE的中位线，由梯形中位线定理即可求出DM的长．

解答 解：延长CD至E，使DE=CD，连接AE，如图所示
∵AD=DC=$\sqrt{2}$，
∴DE=AD=$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD中，∠A=75°，∠B=60°，∠C=135°，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADE=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAC=45°，∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAE=45°，BC=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴∠BAE=45°+75°=120°，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AE∥BC，
即四边形ABCE是梯形，
又∵M是AB的中点，
∴DM是梯形ABCE的中位线，
∴DM=$\frac{1}{2}$（AE+BC）=$\frac{1}{2}$（2+1）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、梯形的判定、梯形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线运用梯形中位线定理才能得出结果．