Question

1．如图，在同一平面内∠ABC=45°，过点B的直线l⊥BC，点P为直线l上一动点．
（1）如图1，连接PC交AB于点Q，若BP=2，BC=3，求$\frac{PQ}{CQ}$的值．
（2）如图2，连接PC交AB于点Q，过点B作BD⊥PC于点D，当∠BPC=3∠C时，判断线段BD与线段CQ的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，过点C作BC的垂线交BA于点A．当点P运动到某处时PC=AB，点M为线段AB上一点（不同于点A，B），作射线PM，作CN⊥PM于点N，设∠CPM=α，求∠BCN（用α表示）
（4）如图4，过点C作BC的垂线交BA于点A，过点C作CH⊥CP，并使CH=CP，连接AH交射线BC于点I．当点P在直线l上移动时，若AC=m，BI=n，线段BP的长度为2|m-n|（直接用m、n表示）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作QE⊥PB，QF⊥BC垂足分别为E、F，由角平分线性质定理得QE=QF，再根据S_△PBQ：S_△BCQ=PQ：QC即可解决问题．
（2）如图2中，作CF⊥AB垂足为F交BD的延长线于E，构造了全等三角形△CFQ≌△BFE解决问题．
（3）证明Rt△ACB≌Rt△PBC，得到∠PCB=45°，在△PCN中，利用三角形的内角和为180°，即可解答．
（4）如图4中，作HE⊥BC垂足为E，构造了全等三角形△PCB≌△CHE解决问题，注意当点P在直线l上移动时，点I在BC的延长线时的情形．

解答 解：（1）如图1中，作QE⊥PB，QF⊥BC垂足分别为E、F．
∵∠PBC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠ABP，
∴QE=QF，
∵S_△PBQ：S_△BCQ=PQ：QC，
∴$\frac{1}{2}$•PB•QE：$\frac{1}{2}$•BC•QF=PQ：QC，
∴PQ：QC=2：3，
即$\frac{PQ}{CQ}=\frac{2}{3}$．
（2）结论CQ=2BD，理由如下：
证明：如图2中，作CF⊥AB垂足为F交BD的延长线于E．
∵∠CFB=∠BFE=90°，∠ABC=45°，
∴∠FBC=∠FCB=45°，
∴FB=FC，
∵BD⊥CD，
∴∠BDQ=∠QFC=90°，
∵∠DQB=∠FQC，
∴∠DBQ=∠QCF，
在△CFQ和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCQ=∠EBF}\\{CF=BF}\\{∠CFQ=∠BFE}\end{array}\right.$，
∴△CFQ≌△BFE，
∴CQ=BE，
∵∠BPC=3∠C，∠C+∠BPC=90°，
∴∠PCB=∠FCQ=22.5°，
∴∠CBD=∠CED=67.5°，
∴CB=CE，
∵CD⊥EB，
∴DB=ED，
∴CQ=2BD．
（3）如图3，

∵l⊥BC，AC⊥BC，
∴∠ACB=∠PBC=90°，
在Rt△ACB和Rt△PBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=PC}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴Rt△ACB≌Rt△PBC，
∴∠ABC=∠PCB，
∵∠ABC=45°，
∴∠PCB=45°，
∵CN⊥PN，
∴∠PNC=90°，
∴在△PCN中，∠BCN=180°-∠CPN-∠PNC-∠PCB=180°-α-90°-45°=45°-α．
（4）如图4中，作HE⊥BC垂足为E．

∵∠PCH=∠PBC=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，∠PCB+∠HCE=90°，
∴∠CPB=∠HCE，
在△PCB和△CHE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠HCE}\\{∠PBC=∠HEC}\\{CP=CH}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△CHE，
∴BC=EH，PB=EC，
∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=EH，
在△ACI和△HEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACI=∠HEI}\\{∠AIC=∠EIH}\\{AC=EH}\end{array}\right.$，
∴△ACI≌△HEI，
∴EI=IC，
∴IC=BC-BI=AC-BI=m-n，
BP=2EI=2（m-n），
当点I在BC的延长线时，IC=BI-BC=BI-AC=n-m，BP=2IC=2（n-m）．
综上所述：BP=2|m-n|．
故答案为2|m-n|．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，构造全等三角形是解决问题的关键，易错的地方是最后一个问题漏解，考虑问题要全面．