Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO平分弦AB交AB于点D，交⊙O于点E、F，
（1）试判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如PA=6，tan∠APB=

4

3

，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OA、OB，根据垂径定理得出AB⊥OP，推出AP=BP，∠APO=∠BPO，证△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）延长AO即可直线PB于M，交⊙O于N，在Rt△MAP中，PA=6，tan∠APB=

4

3

=

AM

AP

，求出AM，由勾股定理求出PM=10，求出BM=4，设⊙O的半径为R，在Rt△OBM中，由勾股定理得出（8-R）²=R²+4²，求出即可．

解答：解：（1）直线PB与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OA、OB，
∵OP平分AB，OP过O，
∴AB⊥OP，
∴AP=BP，
∴∠APO=∠BPO，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
在△PAO和△PBO中

AP=BP ∠APO=∠BPO OP=OP

∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）
延长AO即可直线PB于M，交⊙O于N，
∵在Rt△MAP中，PA=6，tan∠APB=

4

3

=

AM

AP

，
∴AM=8，
由勾股定理得：PM=10，
∵PA=PB=6，
∴BM=10-6=4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBM中，由勾股定理得：OM²=OB²+BM²，
则（8-R）²=R²+4²，
解得：R=3，
即⊙O的半径长是3．

点评：本题考查了垂径定理，切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．